1. Αναμείξτε το μείγμα για ζύμη πίτας χωρίς γλουτένη με το φυτικό άλειμμα με ελαιόλαδο σε πολυκόφτη ή μίξερ, μέχρι να σχηματιστούν μικρά ψίχουλα. Προσθέστε το παγωμένο νερό, 1 κουταλιά της σούπας κάθε φορά, ανακατεύοντας μετά από κάθε προσθήκη, μέχρι η ζύμη να ενώνεται όταν την πιέζετε ανάμεσα στα δάχτυλά σας. Μεταφέρετε τη ζύμη σε επιφάνεια εργασίας, σχηματίστε τη σε δίσκο, τυλίξτε τη με μεμβράνη και βάλτε τη στο ψυγείο για 30 λεπτά.

2. Βάλτε τις μπανάνες, τον χυμό λεμονιού, τις φράουλες και τη ζάχαρη από ζαχαροκάλαμο σε ένα μικρό κατσαρολάκι και μαγειρέψτε σε μέτρια προς δυνατή φωτιά, ανακατεύοντας κατά διαστήματα, μέχρι το μείγμα να αρχίσει να σιγοβράζει. Χαμηλώστε τη φωτιά και συνεχίστε το μαγείρεμα για περίπου 5 λεπτά ή μέχρι να πήξει η γέμιση και να μαλακώσουν τα φρούτα. Αποσύρετε από τη φωτιά και αφήστε τη γέμιση να κρυώσει εντελώς. Αποδίδει περίπου 1¾ φλιτζάνια γέμισης.

3. Προθερμάνετε τον φούρνο στους 190°C και στρώστε ένα ταψί με λαδόκολλα. Χτυπήστε το αυγό σε ένα μικρό μπολ.

4. Βγάλτε τη ζύμη από το ψυγείο και ανοίξτε τη με πλάστη σε ελαφρώς αλευρωμένη επιφάνεια, σχηματίζοντας έναν κύκλο διαμέτρου περίπου 35 εκ. και πάχους περίπου 3 χιλιοστών. Με ένα μαχαίρι κόψτε 8 ορθογώνια κομμάτια διαστάσεων περίπου 9 × 7,5 εκ. Συγκεντρώστε τα υπολείμματα της ζύμης, ανοίξτε τη ξανά και κόψτε ακόμη 8 ορθογώνια κομμάτια.

5. Τοποθετήστε τα 8 ορθογώνια κομμάτια στο ταψί. Μοιράστε περίπου 3½ κουταλιές της σούπας από τη γέμιση στο κέντρο κάθε κομματιού. Σκεπάστε με τα υπόλοιπα 8 ορθογώνια, πιέστε καλά τις άκρες με ένα πιρούνι για να σφραγιστούν και αλείψτε την επιφάνεια με το χτυπημένο αυγό. Χαράξτε δύο μικρές σχισμές στην κορυφή κάθε πιτακίου για να διαφεύγει ο ατμός και ψήστε για περίπου 35 λεπτά ή μέχρι να ροδίσουν. Αφήστε τα να κρυώσουν ελαφρώς. Αποδίδει 8 πιτάκια. Ανακατέψτε τη ζάχαρη άχνη με 2 κουταλάκια του γλυκού νερό μέχρι να δημιουργηθεί ένα λείο γλάσο και περιχύστε τα πιτάκια.